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案例分享 | 浅谈投标游戏中制胜策略

2017-09-18 17:11:13 来源: 您是第位浏览者


选文特点:     
        这篇论文的作者
是来自北京市朝阳外国语学校的四名高中学生。尽管在知识掌握略显不足,但是几位同学通过互相合作,能力互补,最终经过层层筛选,在“登峰杯”大赛全国总决赛上成功获得金奖。在建模过程中同学们通过自创的“最近插入穷举法”及其程序,设定了变量“年期望收益”来平衡决策准则,通过仔细修正让模型更准确,还计划后期研制APP。这几位同学没用多少高深的数学知识,但他们有不错的创新点和思路。

       文章只摘选部分内容作为展示

 

摘   要】 

 

本题目源于2016年第一届“登峰杯”全国中学生数学建模竞赛,参赛期间我们针对这一投标游戏建立了数学模型,比赛后我们对这一问题进行了再分析,写出了这篇论文.这一数学问题可以看作仅清楚整体信息、决策目标,而不清楚每一个个体信息和决策集的多人博弈问题.本文从信息和物理中熵的角度出发,得出他组最终决策结果为正态分布,并通过分析求出这一分布中的多个参数,运用计算机模拟排除了一些非理性决策者和刻意干扰者的影响,得出我们的决策方法。

 

关键词:博弈  不完整信息  非理性决策  计算机模拟  正态分布  最大熵原理

前   言

问题请参考文末的附录.本文针对此问题的核心思想是从信息和物理中熵的角度出发,得出他组最终决策结果为正态分布,从而计算出最有利于自己的投标价.

问题的解答

第一阶段投标之前,我们对一切实际投标游戏的情况没有任何了解与参照,于是我们从本组成员的心态出发,推己及人,推测其余各组的投标策略.我们第一阶段采用如下的投标策略,并假设其余各组跟我们的策略相同:

 

1. 首轮投标的投标价X1 尽量大,使自己第二轮投标时选择余地尽量大.但如果所得初始资金过少,则选择首轮投标做捣乱者、尽量干扰他组的判断,用余额购买信息.

2. 根据所得的首轮投标平均值x1确定有利于得分区间 A 的中轴 μ’和区间宽度 d’:其中,μ’ ∈ [90,100],表达式见下文;d’ ∈ [2 . 5,5],随x1偏离 100的程度增大而减小,其表达式略.

3. 若有余额,则视实际情况优先购买中位数、方差这两个信息.

4. 最终结合所购买的信息,根据实际情况,在所求得的区间内确定最终的投标值 x.

第一阶段投标结束后,我们统计了其结果和我们在几局中购买的信息,列出了如下的表格,通过分析它总结了各组投标的规律和我们组第一阶段投标策略的优缺点.

 

问题的模型假设 

 

 假设抽取财富量的过程绝对公平;

 假设各组均尽力想要获得好成绩;

 假设其他组第一轮投标价格遵照下文所述准则;

 假设其他组第二轮投标价格遵照下文所述准则;

❺ 假设其他组决策准确度和焦虑程度与时间变化无关。

 

模型建立与求解

 

其满足一定的数学期望和方差的分布.这里的数学期望是一轮平均值的函数,因为可以认为他人所使用的算法相似,且主要使用数据为平均数;方差只与一轮平均值有关,因为一轮平均值在一定程度上反映了财富的分布,反映了二轮投标中投标价的分布.

由变分法,我们得出其分布满足正态分布.

【 流程制定 

1.   抽取初始资金 M

2.   根据 M  的大小,决定投标策略:

3.   获取首轮投标平均值数据 :

4.   计算出最终投标金额正态分布的数学期望 计算出最终投标金额正态分布的数学期望h 

5.   比较数值 X1与 h

6.   计算预期“捣乱者”数量 计算预期“捣乱者”数量 n,

7.   计算出进入有利于得分的区间的概率 P

8.   计算正态分布的标准差 计算正态分布的标准差

9.   计算1− p量 查表得到它对应的标准正态分布的随机变量 t

10. 求出X2

11.根据余额决定是否购买其他信息

总  结

 

⑴针对此问题的模型有如下优点

①较为简洁,易于计算;

②考虑到了多种因素,反映出实际生活中的情况

③运用计算机模拟的方法来对捣乱者造成的影响进行量化分析,较准确、便捷的计算出捣乱者的影响;

④运用最大熵原理对第二轮的投标分布进行了分析,较为创新

 

⑵针对此问题的模型有如下缺点:

①仅仅考虑到了平均值与方差这两个约束条件;

②在计算数学期望 μ 时未考虑其内在机理,仅仅根据其极值和变化率的大致趋势来得它的表达式

③过分追求处在第 8 名获得 10 分,得分较不稳定

 
 
 
 
 

参考文献

[1]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型.北京:高等教育出版社[M],2011.1

[2]吴国富,安万福,刘景海.实用数据分析方法.中国统计出版社[M],1992.10

[3]曲英杰 孙光亮 李志敏 最大熵原理及应用[J].青岛建筑工程学院学报,1996,17

[4]冯尚友 信息熵与最大熵原理[J].水利电力科技,1995,22

[5]冯尚友 熵的微观解释与信息[J].水利电力科技,1995, 22

 

我们是来自北京市朝阳外国语学校高一一班的四名高中学生。尽管掌握的知识还不够高考,但我们能力互补、配合默契、数学思想、写作、演讲和计算机编程各有所长;尽管拿到题目时束手无策,但我们最终通过不懈的努力解决了问题。我们的队伍晋级了决赛,并且拿到了金奖。这对四个普通的高中学生来说何其荣幸,也是一段极为宝贵的经历。

 

初赛之前,我们抱着学习的态度报名,不求获奖,只求学到一些新知识。

刚拿到初赛题目时,我们没什么想法;但不久就想到了几个挺好的例子,我们选择了送餐员的路线规划问题。尽管这类TSP问题已经被研究了一百多年,但我们做出了新意:我们自创了“最近插入穷举法”及其程序,设定了变量“年期望收益”来平衡决策准则,通过仔细修正让模型更准确,还计划后期研制APP。我们没用多少高深的数学知识,但我们有不错的创新点和思路。

 

晋级决赛时我们欢呼雀跃,然后立即开始准备答辩。指导老师给了我们许多建议,向我们传授了不少答辩的技巧和策略;一遍遍练习,组员配合越来越默契、越来越熟练,终于把时间控制在八分钟以内。同学们给了我们不少鼓励,连校长都祝我们发挥出色。我们自然也是希望抓住机会多学点东西,向别的更优秀的队伍学习。

 

尽管有了心理准备,决赛的前两天我们还是很忧虑。博弈问题实在是困难,我们在第一阶段只得到2个2分。看着各知名中学的对手们拿分如麻,我们压力山大。24号晚上我们经历了几个小时的思路受阻和争吵,终于在25号凌晨3点有了主意。修改后的策略凝聚了我们组全部的智慧和创意:以正态分布为核心思想,考虑了数学期望和标准差的确定、不同初始财富对应的不同策略、捣乱的队伍对中标概率的影响… …决策过程中用到了计算机模拟、构造函数、线性回归、随机变量正态分布等知识,小组经历了一个不眠之夜,终于得到了一个不错的模型。

 

我们的模型在第二阶段的2,3局比赛中相当准确,但由于过于保守,只得到了2个2分。第4局我们冒险拿到了不错的6分。在最后一局中,局势混乱,最后建立的模型不再适用;我们花了将近20分钟,认真分析别人投标的心态和策略,然后大胆猜想,竟然得到10分,由此神奇翻盘。虽然有运气的成分在,但准确的分析更重要。

 

我们相信,任何过程都是有意义的,哪怕是失败的、看似徒劳的。正是第一阶段的失利刺激着我们对模型进行深入反思;正是在建模过程中不断地推翻、重来、检验、修正,才有了这个较为成功的模型;正是第二阶段投标过程中对每一元资金的斤斤计较,促成了最终的大逆转。朝外1队中,如果缺少了任何一名成员,我们都不可能在这不眠不休的几天中坚持下来,也不会到了最后一分钟还在为投90还是91而争执不下,取胜更无从谈起。

 

 我们的收获远不止一个金奖。这次的最终博弈赛,组员们不仅主动学习了不少应用数学和计算机编程方面的知识,还提高了合作能力,学会了分工和讨论。总之,这是一场综合了考验知识、态度、心理甚至意志的比赛,它让我们受益匪浅、终生难忘。

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