案例分享 | m^10^b产生b+1位二次广义自生数定理

2017-09-18 13:52:20 来源: 您是第位浏览者


研究背景:

在初二的一节数学课上,老师给我们布置了一道数学题。当时有同学提出可以通过数学归纳法解,但被老师否认了。当时我觉得有可能可以,结果在计算过程中发现了一个有趣的规律。无论是2的100次方还是几百次方,结果的后三位都是376,我不禁心生疑问:是不是还有其它的数满足这种情况呢?为了探求其中的奥秘,我开展了此次研究。

 

经过大量的枚举、猜想和判断,最终发现可以表示为m^10^b的整数具有一种特殊的规律。

 

经过委托教育部科技查新工作站进行国内外查新得知,在此之前没有相同的研究。

 

 

 自然科学的皇后是数学,数学的皇冠是数论。在此之前,我一直认为数论是一门很高深的学科。通过这次的研究,我懂得其实生活中有很多有趣的规律,需要我们的用心观察、仔细思考和执着探索才能发现。 

作者:西南大学附属中学校   马玉龙

 

注:文章只摘选部分内容作为展示

 

『 选文特点 

 

 

本篇作品从实际的数学问题出发,利用信息技术分析问题,寻找新的解题思路,从实际应用出发寻找解决问题的方案。非常具有创新性,根据一道数学奥赛的同余问题,提出了一个新的定理。基于计算机编程的科学计算,验证了该定理在有限范围内是成立的,然后在此基础上实现了该定理的数学证明。


 

 

摘        要 

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在演算一道关于同余的数学问题时,发现了一个有趣的现象,经过反复的猜想和推算提出了一个新的定理——M^10^b为 b+1 位二次广义自生数(b≥2,b∈Z,m∈Z)。利用科学计算证明该定理在有限范围内成立,并使用多种方法完成了定理的数学证明。随后将该定理推广至信息技术学科,并应用于计算自生数、简单验算幂运算和简化幂运算,可以减少幂运算的时间。该定理在文件校验、数据加密等领域有应用前景,同时是自生数和二次广义自生数深入研究的基础。

 

关键词:自生数;二次广义自生数;同余;幂运算;欧拉定律

 

 

 

 

 

 

 提出问题 』

 

 

 

据此,产生了疑问,是不是还有其它的数也有这种奇怪的现象。通过电脑程序的大量枚举,发现形如M^10^b(b≥2,b∈Z,m∈Z)的整数都具有一种特殊的性质。具体分析,当 b=1 的时候,不一定符合规律。当 b≥2,就出现了规律,M^10^b后 b+1 位与M^10^b 平方的后 b+1 位相等。由此可以推导出M^10^b 后 b+1 位与M^10^b的任何正整数次方的后b+1 位相同。经过查阅资料可知M^10^b 和 b+1 位二次广义自生数具有同样的性质,M^10^b后b+1 位都是 b+1 位自生数

 

 提出定理 』

 

 

定义 1:广义自生数

如果自然数 a 的 k(k≥2)次幂的末 n 位与 a 的末 n 位相同,则 a 为 n 位 k 次广义自生数 [1-3] 。

a 为 n 位 k 次广义自生数的充要条件为

a^k≡a(mod 10^n)

 

定义 2:二次广义自生数

二次广义自身数是一种特殊的广义自生数,如果自然数 a 的平方的末 n 位与 a 的末 n位相同,则 a 为 n 位二次广义自生数。二次广义自生数的任何正整数次方的末 n 位与 a 的末 n 位相同。 [1-3]

a 为 n 位二次广义自生数的充要条件为

a^2≡a(mod 10^n)

 

 

定义 3:自生数

位数为 n 位的 n 位二次广义自生数称为 n 位自生数(部分文献称为自守数)。如果 n位自然数 a 为自生数,a 的任何正整数次方的末 n 位均为 a。 [1-3]

定理:

M^10^b为 b+1 位二次广义自生数(b≥2,b∈Z,m∈Z)

(m^10^b)^2≡m^10^b(mod 10^b+1)

 

 

 初步验证 』

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 证明思路 』

 

 

根据发现的规律,提出了多种证明思路,在这列举其中最简便的一种。

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 实际应用 』

 

推论 1:计算自生数(推论过程省略)

推论 2:简化幂运算(推论过程省略)

 

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 结    论 

 

根据一道数学奥赛的同余问题,提出了一个新的定理,即10 ^b^m 为 b+1 位二次广义自生数(b≥2,b∈Z,m∈Z)。首先基于计算机编程的科学计算,验证了该定理在有限范围内是成立的,然后在此基础上实现了该定理的数学证明。将该定理运用于计算自生数和简化幂运算中,同时为自生数和二次广义自生数深入研究提供帮助。从规律的发现到问题的提出,再到初步检验和最终的数学证明,该定理最终成功提出,为相关研究提供了方法论的借鉴。

 

 参考文献 

 

[1] Goodstein R L. Automorphic numbers in a general scale [J]. The Mathematical Gazette, 1959:270-272.

[2] 宋铭杰,张广华. 广义自生数[J]. 数学通报, 1988, 06: 24-25+34.

[3] 王冠闽.三类自生数群[J]. 漳州师范学院学报(自然科学版), 2002, 01: 20-23.

[4] 赵志印, 孟繁申. 二次广义自生数 [J]. 河北大学学报(自然科学版), 1996, 03: 60-63.

[5] Curzon F L, Curzon A E. Modified Automorphic Numbers in Number-Base B, Which End inAny Digit n< B[J]. Journal of Recreational Mathematics, 2004, 33(4): 272.

[6] Landau, Edmund. Elementary Number Theory [M]. New York: Chelsea, 1966.

[7] 陶然.守望摩尔定律[J].电子产品世界,2010,06:2-4+16.

 

 

专家评语:

创新性强,且有关实际应用背景

                                               ——清华大学 陆教授

本作品研究思路、研究价值及结果均较好,创新性较高,能与实践相结合。

                                               ——四川大学 吴教授

将信息技术与数学相结合,有深入思考并进行验证结论。

——西安交通大学 王教授   

马玉龙

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就读于西南大学附属中学校。

喜欢数学建模、算法设计。

 

【获奖情况】

 

1. 【国家级】第二届“登峰杯”全国中学生学术科技创新大赛学术论文竞赛全国决赛一等奖(全国第 1)。

2. 【国际级】第59届伦敦国际青年科学论坛(LIYSF2017)优秀项目(创造了重庆青少年入选国际科技赛事国家队的历史)。

3. 【国家级】第 31 届全国青少年科技创新大赛二等奖(数学学科领域亚军)。

4. 【国家级】第 31 届全国青少年科技创新大赛英特尔英才奖(作为 2 个优秀展示项目之一与科技爱好者交流)。

5. 【国家级】第 31 届全国青少年科技创新大赛周培源青少年科技创新奖。

6. 【国家级】入围第 17 届“明天小小科学家”奖励活动终评(全国 100 强)。

7. 【国家级】2017 青少年高校科学营清华大学分营“科技之星”优秀营员称号(占营员 5%)。

8. 【国家级】第 13 届全国中学生水科技发明比赛暨斯德哥尔摩青少年水奖中国地区选拔赛二等奖。

9. 【国家级】第 8 届“北斗杯”全国青少年科技创新大赛全国总决赛优秀奖。

10.【国家级】第 3 届“未来科学家创新大赛” 二等奖。